|
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
n n kiej, że (X \ Fi) = X. Stad Fn = Fi = ", co jest sprzeczne z i=1 i=1 niepustoÅ›cia zbioru Fn. Lemat 10.4. Każda przestrzeÅ„ metryczna (X, Á), spelniajaca wa- runek Cantora, jest zwarta. Dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. przestrzeÅ„ X zawiera ciag (xn)n"N bez podciagu zbieżnego. Niech Fi = {xk : k e" i}. Zbiory Fi sa niepuste. Sa też domkniete. Istotnie, gdyby x " cl Fi \ Fi, uwaga 3.2) wynika, że x " Fid, to ze wzoru cl Fi = Fi *" Fid (zob. wiec x jest granica ciagu wzajemnie różnych punktów należacych do z Fi. Jest jasne, że takiego ciagu można wybrać podciag, kt óry jest zarazem podciagiem ciagu (xn)n"N, no i bedzie on zbieżny (do x) wbrew przypuszczeniu. Zatem x " Fi, co pokazuje domknietość zbioru Fi. " Z warunku Cantora stwierdzamy, że istnieje punkt p " Fi. i=1 Oznacza to, że dla każdego wskaznika i istnieje liczba ki e" i taka, że p = xk . Można przyjać, że k1 i (xk )i"N zbieżny do p, co jest znowu sprzeczne z przypuszczeniem. i Powyższe lematy można zebrać w postaci jednego ważnego twier- dzenia, charakteryzujacego zwartość przestrzeni metrycznych poprzez warunek Borela-Lebesgue a lub Cantora. Twierdzenie 10.5. Nastepujace warunki sa równoważne: (1) PrzestrzeÅ„ metryczna X jest zwarta. (2) PrzestrzeÅ„ metryczna X spelnia warunek Borela-Lebesgue a. (3) PrzestrzeÅ„ metryczna X spelnia warunek Cantora. Zauważmy, że w warunkach Borela-Lebesgue a i Cantora nie wyste- puje specyficzne dla przestrzeni metrycznych pojecie ciagu i zbieżnoÅ›ci, natomiast sa te warunki niezmiennikami topologicznymi. Zatem można by je przyjać za definicje zwartoÅ›ci w ogólnych przestrzeniach topolo- gicznych. Z praktycznych powodów, aby uzyskać podobne jak w przy- padku przestrzeni zwartych metrycznych wlasnoÅ›ci, zaklada sie wtedy zwykle dodatkowo, że rozważane przestrzenie sa Hausdorffa i wybiera sie za definicje warunek pokryciowy Borela-Lebesgue a. Definicja 10.4. PrzestrzeÅ„ topologiczna Hausdorffa jest zwarta, gdy spelnia warunek Borela-Lebesgue a: każde pokrycie otwarte tej przestrzeni zawiera podpokrycie skoÅ„czone. Intuicja zwartoÅ›ci pokryciowej mówi, że istnieja dowolnie male skoÅ„czone pokrycia otwarte przestrzeni. 74 10. PRZESTRZENIE ZWARTE wiczenia (1) Uzasadnić dokladnie prawdziwość stwierdzeÅ„ (1) (3) w przykladzie 10.1. (2) Zbadać zwartość domknieć kul na plaszczyznie z metryka rzeka . = (3) Zbadać zwartość przestrzeni C(I, I) oraz B(I, I), gdzie I [0, 1] z metryka zbieżnoÅ›ci jednostajnej (zob. przyklad 1.10). (4) Sprawdzić zwartość kwadratu [0, 1]×[0, 1] z metrykami Ác, Ár, Ám, Á01. (5) Pokazać, że przestrzeÅ„ metryczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja ciagla f : X ’! (R, Áe) jest ograniczona. (6) Pokazać, że jeÅ›li niepusty zbiór A ‚" (X, Áe) jest zwarty, to dla każdego x " X istnieje punkt a0 " A taki, że dA(x) = Á(a0, x), gdzie dA(x) = inf{Á(a, x) : a " A} (czyli odleglość punktu od zbioru A jest realizowana). (7) Udowodnić, że każda zwarta podprzestrzeÅ„ przestrzeni X liczb nie- wymiernych z metryka euklidesowa jest brzegowa w X. (8) Dla których podanych niżej przestrzeni X i Y istnieje przeksztalcenie ciagle (homeomorfizm) z X na Y ? (a) X, Y " { ([a, b] × [c, d], Áe), ([a, b) × [c, d), Áe), (R2, Ác) } 1 (b) X, Y " [a, b], [a, b), (a, b), R, Q, N, cl{ : n = 1, 2, . . . }, S1 z n metrykami euklidesowymi. (c) X, Y " { [a, b], cl { (x, sin x) " R2 0 klidesowymi. (d) X, Y " { [a, b], (F, Áe), (F, Ác) }, gdzie F = suma odcinków o 1 1 koÅ„cach (0, 0) i (cos ±, sin ±), ± = 0, 1, , , . . . 2 3 Czy (R2, Áe) jest homeomorficzna z (R2 \ Q × Q, Áe)? Podać przeksztalcenia lub uzasadnić ich brak w oparciu o po- znane wlasnoÅ›ci zachowywane przez przeksztalcenia ciagle, jak zwar- tość, spójność, itp. (9) Uzwarceniem przestrzeni metrycznej X nazywamy przestrzeÅ„ met- ¯ ryczna zwarta X zawierajaca zbiór gesty X homeomorficzny z X. ¯ Zbiór X \ X nazywamy narostem uzwarcenia. Znalezć uzwarcenie prostej o naroÅ›cie bedacym (a) zbiorem 1-punktowym; (b) zbiorem 2-punktowym; (c) odcinkiem domknietym; (d) dwoma rozlacznymi odcinkami domknietymi na plaszczyznie euklidesowej; (e) okregiem. ROZDZIAl 11 Przestrzenie zupelne Definicja 11.1. Ciag (xn)n"N w przestrzeni metrycznej (X, Á) na- zywa sie ciagiem Cauchy ego w X, gdy spelniony jest warunek Cauchy ego: dla każdej liczby > 0 istnieje liczba naturalna k taka, że Á(xn, xm) PrzestrzeÅ„ metryczna (X, Á) jest zupelna, gdy każdy ciag Cauchy ego w X jest zbieżny w X. Metryka w przestrzeni zupelnej nazywana jest metryka zupelna. Pojecie ciagu Cauchy ego jest dobrze znane z analizy matematy- Podstawowe wlasnoÅ›ci ciagów Cauchy ego w ogólnych prze- cznej. strzeniach metrycznych sa takie same jak na prostej euklidesowej. W szczególnoÅ›ci wymieÅ„my trzy stwierdzenia. Stwierdzenie 11.1. Każdy ciag zbieżny jest Cauchy ego. Stwierdzenie 11.2. Każdy ciag Cauchy ego jest ograniczony. Stwierdzenie 11.3. JeÅ›li ciag Cauchy ego zawiera podciag zbieżny, to jest on zbieżny do tego samego punktu, co ten podciag. Dowód. Zalóżmy, że ciag Cauchy ego (xn)n"N w przestrzeni me- trycznej (X, Á) ma podciag (xk )n"N zbieżny do punktu x " X. Przy- n pomnijmy, że wskazniki podciagu tworza ciag rosnacy k1 stad n d" kn dla każdego n " N. Niech > 0. Istnieje wskaznik m taki, dla że i, j e" m Á(x, xk ) i 2 Á(xi, xj) 2 Wtedy Á(xk , xk ) i j 2 i Á(x, xi) d" Á(x, xk ) + Á(xk , xi) i i zatem ciag (xn)n"N jest zbieżny do x. Ze stwierdzenia 11.3 otrzymujemy 75 76 11. PRZESTRZENIE ZUPELNE Wniosek 11.1. Każda przestrzeÅ„ metryczna zwarta jest zupelna. SpoÅ›ród przestrzeni zupelnych niezwartych najważniejszymi przy- kladami sa przestrzenie euklidesowe. Przyklad 11.1. Przestrzenie euklidesowe sa zupelne. Zupelność prostej euklidesowej, to jeden z podstawowych faktów, o których jest mowa na pierwszych wykladach analizy. Wyrażony jest on zwykle w postaci twierdzenia, że ciag liczbowy spelniajacy warunek Cauchy ego jest zbieżny. Zupelność wyżej wymiarowych przestrzeni eu- klidesowych można uzasadnić, korzystajac ze stwierdzenia 11.2, twier- dzenia 10.2 i wniosku 11.1: ciag Cauchy ego jest ograniczony, wiec w zbiór jego punktów zawiera sie pewnej kuli, której domkniecie w przestrzeni euklidesowej jest podprzestrzenia zwarta, a wiec cia g jest w niej zbieżny. Można też oprzeć sie na nastepujacym fakcie ogólnym. Stwierdzenie 11.4. Iloczyn kartezjaÅ„ski przestrzeni metrycznych jest zupelny wtedy i tylko wtedy, gdy każda z tych przestrzeni jest zupelna (w przypadku nieskoÅ„czenie wielu przestrzeni w ich iloczynie rozważamy którakolwiek z metryk opisanych w rozdziale 6 wzorami 6.2, 6.3, 6.4). Dowód. Zasadnicza role w dowodzie odgrywa postać odlegloÅ›ci w iloczynie. Niech (X, Á) = (X1, Á1) × (X2, Á2) × . . . . Przypomnijmy, że jeÅ›li osi jest skoÅ„czenie wiele, np. n, to zachodzi Ái(xi, yi) d" Á((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)), a jeÅ›li nieskoÅ„czenie wiele, to, w zależnoÅ›ci od wybranej metryki w iloczynie, mamy Ái(xi, yi) d" Á((x1, x2, . . . ), (y1, y2, . . . )) lub Ái(xi, yi) d" 2iÁ((x1, x2, . . . ), (y1, y2, . . . )) lub min(1, Ái(xi, yi)) d" 2iÁ((x1, x2, . . . ), (y1, y2, . . . )). Zalóżmy, że wszystkie osie sa zupelne i rozważmy ciag Cauchy ego w iloczynie X. Z powyższych nier ównoÅ›ci wynika w każdym przypadku, że i-te wspólrzedne punktów tego ciagu tworza ciag Cauchy ego na osi Xi dla każdego i " N, wiec sa zbieżne w X i. Z twierdzenia 6.1 o [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ] |
Podobne
|